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なんだか「数学」というものを人間の直感に枷をはめる面倒なルールのようにとらえているようで、少し残念です。高校まででは教わらない本物の現代数学は、もっと自由で、人間味があって、今回のような素朴な疑問にだって先人たちが立ち向かい続けて、何とか「しっくりくる」まで考え抜いてできた概念創造物の結晶です。だから主さんには是非現代数学を学んでいただきたい。特に「実数論」や「順序体論」や「記号論理学」や「超準解析」などを知れば、1=0.9999...のような話は少しは納得できるものになってくるかもしれません。自力でこの動画の後半部分のような考え方にたどり着けたのであれば、十分に現代数学を理解する素養があると思いますよ。
0.999…が1より小さいくて1に1番近い数と決めちゃうと0.999…より1に近い数は存在しないことになりそうそして2番目に近い数も0.999…でまた、3番目に近い数も0.999…でそして100番目も200番目も9999番目も、0.999…になるだろう然るに、0.999…は一意に定まらんそんな気がする
うん、間違っている。高校の教科書見ると、一帯に、それを正しいとしているとも、間違っているともしてある。言い換えると、どちらでもいいように書いてある。0.999.．＝１とも0.999...＜1とも。因みに、ニュートンは0.999...＜1で考えている。俺は0.999...＝1は違うと思う。
お疲れ様です。動画楽しかったです。自分は習ったその瞬間（高校生の時です）の10分後くらいに直感的にも腑に落ちた経験でしたので、まさに「目から鱗が落ちる」体験でしたね。人生観変えた大好きなテーマです。（自明として信じてるものにも疑う余地は常にあるということ）自分は1970年生まれで、年ももしかしたら同じくらいですか？ 小学生の時にこのテーマに触れていたなんて羨ましい。もちろんいいねボタンです。!(^^)!
こういうのを見るたびに思うのが、数学は連続と相性が悪そうだということ。そういう意味では、連続数学を研究している人、尊敬する。
1=0.99999…もう見た目がイコールじゃないよね
はい。同意。数学的にあり得ない。
影カッターのアナロジーが秀逸でどんな配信者さんよりもスッキリしました。そして最後の身も蓋もない話し。これこそが真実だというオチ。言語及びその表記の仕方に限界があるという結論でいいですか？0〜9までしか使えない中で最大限の努力をしている表記😅ほんなら、9の次にくる新種の数字が仮にあるとして、それを便宜上Aと置いたとしたら1=0.AAA…。これを考えたとしても同じように直感的に受け入れられない。ちょっと足りないんじゃないかと。んで、すぐさまBが欲しくなるが以下、繰り返し。0〜9の10枚のカードで数字を表さなくてはならない中で最大限の表現で1に近づけてるが、10枚なのが問題ではなく、カードの枚数をどんなに増やしたところで常に付きまとう問題。つまるところ言語（数学を言語として捉えれば）の限界。実数の連続性の本質を直感的に表現するには、今ある言語では性能不足。1=0.999…は、後ろ向きではあるが、そう認めてあげなくてはならない。
0.9999…と9を永遠（無限）に書いていっても永遠（無限）には辿り着けない。π ＝ 3.1415… と永遠（無限）に書いていっても永遠（無限） ＝ π には辿り着けない。 この感覚（直感/主観）をどう捉えるか。 山手線の長さは無限。 しかし、電車は、永遠に無限には到達できない。 0.999…と表記しちゃった時点で、表記という物理的な意味を帯びる。
自分の主観で理解したのは1と0.99‥が違うものとすると、その違いをノートに書いた。ずっと0.00‥延々と0を書き続けたがふと気づく、永遠の0を書き込んでなんになる。もうどうでもええわ。1も0.99‥も見た目は違うだけで中身は同じ。疲れた。ノートをしまい寝よう
1より小さい数のとき、0.999・・・はどこかで終わる。終わらないということは1より小さくない。だから1
実数上ではこの２つは区別されない。という解答が妥当だと思います。1と0.9999...に別の実数を割り当てる事が出来ません。ですので同じ実数を割り当てるしかない、イコールとせざるを得ないのです。実数は、大小関係とか四則演算とかが成り立つ最大の数の集合です。この2つを区別するために実数を拡張してしまうと、大小関係とか四則演算を成り立たせる事が出来なくなります。そんな数は不便なだけで価値がありません。ですので、実数を使う限り、この２つはイコールとせざるを得ないのです。無限小に対応する実数は無いのです。
俺もそう思います。ただ、数学的に言うと、1＝0.9999…は間違いと思う。
というか、まず算数・数学の教師になろうと志す程の人物だったがために、[0.999…=1]を[1+1=2]と同じように主観的に納得できてしまい、[1+1=2]が証明するに値しないほどの自明的な問題だと感じるのと同じように、この問題も数学的な説明しか出来なかったのではないか？その問題に対して疑問を呈するからこそ、理解するために数学的な定義とは離れた抽象的で、しかし理解しやすい考え方を思いつけるのではないだろうか。
算数は日常、数学は非日常。愛は日常、恋は非日常。0.99999‣‣≠1
極限値だからね
俺と同じ事思ってたヤツがいたとは( ﾟдﾟ)
しかも二酸化我慢を名乗ってた事もある私としては、その酸化イカリング等という名前に激しい共感を受けずにはいられない…
@@reboot5626 ww
主観の考えに対して質問するのはお門違いかもしれませんが、影カッターにおいて左辺が0.999･･･になるならば、右辺も0.999･･･になるのでは？と思うのですがどうでしょうか。(やはりこの思考は数学的なのだろうか笑)動画に関してはとても凝っていて凄いと思いました！！
ご指摘ありがとうございます。主観だからこそ、他人の主観の意見が参考になります。（笑） 0.9999…=1=1.0000…と続いて１繰り上がりそうで無限に続く数と言っているので、この３つ全てが同じなのですが、個人的に言いたかったのは例えば刃の厚さが2㎜あったなら刃の座標は左が0.9 右が1.1となる。その刃を限り無く薄くしていくと、刃の厚みが０になった時、その刃の両面の座標はいったいどうなるだろう？というニュアンスの物でした。実は動画を作ってる最中にも、「いや、自分でも言ってる事分からなくなってきたぞ」と思う事多々あり、ようするに私も国語は苦手なのです。（笑）説得力あるプレゼンテーション能力。うん、それが欲しいですね。（笑）というわけでコメントありがとうございました。
@@reboot5626 返信ありがとうございます！なるほど〜！それは僕も納得でき、すっきり出来ました！僕は今高専生なのですが、実は僕も中学生の頃はずっと1＝0.999･･･の証明について懐疑的な主観を抱いていました。今回の動画と、主さんの説明で主観的で自分なりに納得できるような考えを知ることが出来ました！ありがとうございます！
最後の数をいれるところがあんまり理解できないのですが0.0000000000000.....1とかっていう数字が入りそうなものなのですが入らないのですか？
例えば0.9なら1.0までの間に0.1の隙間があります0.99なら0.01です。こうやって続けていくと、0.9999999999999.....9の時の隙間が0.0000000000000.....1です。0.9999999999999.....9は0.9999999999999.....99.... より小さい数です。つまりもともと0.0000000000000.....1とは0.9999999999999.....99....～１の間の隙間より大きい数になり、中に入らないのです。
なぜ座標が0.999...となるのです？影カッターの厚さが0だとしたら座標は2つの立方体の座標は1になるのでわ？(間違ってたらすみません)
それは数学的に言ったらそれが正しいと思いますあくまで例としてこの人が納得出来たものをあげただけなので0.999...と1の間の数がないってことさえ分かれば問題ないと思いますね
「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であると定義されれば、言葉の定義を根拠として、0.999‥‥≠1という結論になるのでは。もし「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であるという定義は誤りであると主張するなら、その主張の根拠は何か？ということになる。
「0.333‥‥」とは「1/3未満の最大の数」であるという定義が正しいとすれば、1/3≠0.333‥‥ということになる。だから1 /3＝0.333‥‥の両辺を3倍すれば1＝0.999‥‥になるとの証明も成り立たない。これは、証明すべきことを前提に使っているということで。
@@8ts930お疲れ様です。期間が空いてて恐縮です。私は、問１「１未満の最大の数」を次から選べ。→ ① 0.9 ② 0.999 ③ 0.99999 → 答え ③ 0.99999問２「１未満の最大の数」を答えなさい。→ 答えられないという感覚です。（ ここで0.999･･･が wild card のように登場するのだと思いますが･･･ ）私は∞という概念は数(量)としては定義できずとも感覚的には想像ができます。しかし「１未満の最大の数」となると感覚的にも想像できないです。「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であると定義されれば、言葉の定義を根拠として、0.999‥‥≠1という結論になるのでは、という考えは前提が不可能であると思いますが、いかがでしょう。
1未満の最大の数をaとする。このときaと1の差は0であってはならない。したがってa+r＝1なる数r＞0が存在する。ここで、a+r/2という数を考える。r＞0より、 r/2＞0⇒a+r/2＞a⇒a+r＞a+r/2したがって、a＜a+r/2＜a+r＝1である。このことからa+r/2は1未満かつaより大きいため、aが1未満の最大の数であることに矛盾する。よって1未満の最大の数は存在しない。
@@youdenkisho455 1未満の最大の数は、0.999...では決まらないと思います。
@@bluemoutain5675 何が言いたいのか分かりませんが、そもそもの話が0.99999⋯を1未満の最大の数と定義すれば良いのではないかという内容だったので1未満の最大の数は（実数としては）定義できないと反論した次第です。
数学って完璧で美しく、常に一つの解答に導かれていくものと思っていましたが…そんな事ないのですね🤔私も1=0.99999999…は納得出来ないですが、1+1=2の証明をリンゴが一つあって、もう一つ持ってきたら２つになる、的に考えてみると、0.999999…のリンゴは目に見えないくらいの小さな小さな欠けがあるくらいで、見た目は一つのリンゴだから…0.9999999…=1って事にしちゃえる🤣
1=0.9999… 1=1.0000… うっ、あたまが…
そもそも、0.9999……は1に満たない。だから、1＝0.9999……と書くのは絶対に納得いかない😤
うん、間違っている。高校の教科書見ると、一帯に、それを正しいとしているとも、間違っているともしてある。言い換えると、どちらでもいいように書いてある。0.999.．＝１とも0.999...＜1とも。因みに、ニュートンは0.999...＜1で考えている。
X
@@reboot5626 例えば学生時代にこの様な回答をされていたら納得できたでしょうか。x
rom勢様 ありがとうございます。そうですね 先生もそういう風に似た様な証明をぶつけるのでは無く、全く別の切り口から説明してくれたならとつくづく思います。ところで中学の頃って自分どうだっただろう、、、たぶんrom勢さんが想像している以上に私出来ない子でした。思い立てば幼稚園の頃、「半分こ」という言葉を教わって壁と自分の手までの距離の半分こってのを繰り返したんですが、そうするとずっと半分こが続くハズなのに壁に手が付いてしまい、、、、いつ半分この世界を超えたんだろう？というのがこの手の悩みの最初のものだった気がします。いやもう何が話したかったのかも分からなくなってきたのでこの辺で今後もよろしくお願いします。
@@8ts930 真偽を判断する物としては使ってません。動画内の疑問に答えただけです
なんだか「数学」というものを人間の直感に枷をはめる面倒なルールのようにとらえているようで、少し残念です。
高校まででは教わらない本物の現代数学は、もっと自由で、人間味があって、今回のような素朴な疑問にだって先人たちが立ち向かい続けて、何とか「しっくりくる」まで考え抜いてできた概念創造物の結晶です。
だから主さんには是非現代数学を学んでいただきたい。特に「実数論」や「順序体論」や「記号論理学」や「超準解析」などを知れば、1=0.9999...のような話は少しは納得できるものになってくるかもしれません。自力でこの動画の後半部分のような考え方にたどり着けたのであれば、十分に現代数学を理解する素養があると思いますよ。
0.999…が1より小さいくて1に1番近い数と決めちゃうと
0.999…より1に近い数は存在しないことになりそう
そして2番目に近い数も0.999…で
また、3番目に近い数も0.999…で
そして100番目も200番目も9999番目も、0.999…になるだろう
然るに、0.999…は一意に定まらん
そんな気がする
うん、間違っている。高校の教科書見ると、一帯に、それを正しいとしているとも、間違っているともしてある。
言い換えると、どちらでもいいように書いてある。0.999.．＝１とも0.999...＜1とも。因みに、ニュートンは0.999...＜1で考えている。
俺は0.999...＝1は違うと思う。
お疲れ様です。動画楽しかったです。自分は習ったその瞬間（高校生の時です）の10分後くらいに直感的にも腑に落ちた経験でしたので、
まさに「目から鱗が落ちる」体験でしたね。人生観変えた大好きなテーマです。（自明として信じてるものにも疑う余地は常にあるということ）
自分は1970年生まれで、年ももしかしたら同じくらいですか？ 小学生の時にこのテーマに触れていたなんて羨ましい。もちろんいいねボタンです。!(^^)!
こういうのを見るたびに思うのが、数学は連続と相性が悪そうだということ。
そういう意味では、連続数学を研究している人、尊敬する。
1=0.99999…もう見た目がイコールじゃないよね
はい。同意。数学的にあり得ない。
影カッターのアナロジーが秀逸でどんな配信者さんよりもスッキリしました。そして最後の身も蓋もない話し。これこそが真実だというオチ。言語及びその表記の仕方に限界があるという結論でいいですか？0〜9までしか使えない中で最大限の努力をしている表記😅ほんなら、9の次にくる新種の数字が仮にあるとして、それを便宜上Aと置いたとしたら1=0.AAA…。これを考えたとしても同じように直感的に受け入れられない。ちょっと足りないんじゃないかと。んで、すぐさまBが欲しくなるが以下、繰り返し。0〜9の10枚のカードで数字を表さなくてはならない中で最大限の表現で1に近づけてるが、10枚なのが問題ではなく、カードの枚数をどんなに増やしたところで常に付きまとう問題。つまるところ言語（数学を言語として捉えれば）の限界。実数の連続性の本質を直感的に表現するには、今ある言語では性能不足。1=0.999…は、後ろ向きではあるが、そう認めてあげなくてはならない。
0.9999…と9を永遠（無限）に書いていっても永遠（無限）には辿り着けない。π ＝ 3.1415… と永遠（無限）に書いていっても永遠（無限） ＝ π には辿り着けない。 この感覚（直感/主観）をどう捉えるか。 山手線の長さは無限。 しかし、電車は、永遠に無限には到達できない。 0.999…と表記しちゃった時点で、表記という物理的な意味を帯びる。
自分の主観で理解したのは1と0.99‥が違うものとすると、その違いをノートに書いた。ずっと0.00‥延々と0を書き続けたがふと気づく、永遠の0を書き込んでなんになる。もうどうでもええわ。1も0.99‥も見た目は違うだけで中身は同じ。疲れた。ノートをしまい寝よう
1より小さい数のとき、0.999・・・はどこかで終わる。終わらないということは1より小さくない。だから1
実数上ではこの２つは区別されない。という解答が妥当だと思います。1と0.9999...に別の実数を割り当てる事が出来ません。ですので同じ実数を割り当てるしかない、イコールとせざるを得ないのです。実数は、大小関係とか四則演算とかが成り立つ最大の数の集合です。この2つを区別するために実数を拡張してしまうと、大小関係とか四則演算を成り立たせる事が出来なくなります。そんな数は不便なだけで価値がありません。ですので、実数を使う限り、この２つはイコールとせざるを得ないのです。無限小に対応する実数は無いのです。
俺もそう思います。ただ、数学的に言うと、1＝0.9999…は間違いと思う。
というか、まず算数・数学の教師になろうと志す程の人物だったがために、
[0.999…=1]を[1+1=2]と同じように主観的に納得できてしまい、
[1+1=2]が証明するに値しないほどの自明的な問題だと感じるのと同じように、
この問題も数学的な説明しか出来なかったのではないか？
その問題に対して疑問を呈するからこそ、
理解するために数学的な定義とは離れた抽象的で、
しかし理解しやすい考え方を思いつけるのではないだろうか。
算数は日常、数学は非日常。
愛は日常、恋は非日常。
0.99999‣‣≠1
極限値だからね
俺と同じ事思ってたヤツがいたとは( ﾟдﾟ)
しかも二酸化我慢を名乗ってた事もある私としては、その酸化イカリング等という名前に激しい共感を受けずにはいられない…
@@reboot5626 ww
主観の考えに対して質問するのはお門違いかもしれませんが、影カッターにおいて左辺が0.999･･･になるならば、右辺も0.999･･･になるのでは？と思うのですがどうでしょうか。(やはりこの思考は数学的なのだろうか笑)動画に関してはとても凝っていて凄いと思いました！！
ご指摘ありがとうございます。
主観だからこそ、他人の主観の意見が参考になります。（笑）
0.9999…=1=1.0000…と続いて１繰り上がりそうで無限に続く数
と言っているので、この３つ全てが同じなのですが、個人的に言いたかったのは
例えば刃の厚さが2㎜あったなら刃の座標は左が0.9 右が1.1となる。
その刃を限り無く薄くしていくと、刃の厚みが０になった時、その刃の両面の座標はいったいどうなるだろう？というニュアンスの物でした。
実は動画を作ってる最中にも、「いや、自分でも言ってる事分からなくなってきたぞ」と思う事多々あり、ようするに私も国語は苦手なのです。（笑）
説得力あるプレゼンテーション能力。うん、それが欲しいですね。（笑）
というわけでコメントありがとうございました。
@@reboot5626
返信ありがとうございます！
なるほど〜！それは僕も納得でき、すっきり出来ました！僕は今高専生なのですが、実は僕も中学生の頃はずっと1＝0.999･･･の証明について懐疑的な主観を抱いていました。今回の動画と、主さんの説明で主観的で自分なりに納得できるような考えを知ることが出来ました！ありがとうございます！
最後の数をいれるところがあんまり理解できないのですが0.0000000000000.....1とかっていう数字が入りそうなものなのですが入らないのですか？
例えば0.9なら1.0までの間に0.1の隙間があります
0.99なら0.01です。
こうやって続けていくと、
0.9999999999999.....9の時の隙間が0.0000000000000.....1です。
0.9999999999999.....9は
0.9999999999999.....99.... より小さい数です。
つまりもともと
0.0000000000000.....1とは
0.9999999999999.....99....～１の間の隙間より大きい数になり、中に入らないのです。
なぜ座標が0.999...となるのです？影カッターの厚さが0だとしたら座標は2つの立方体の座標は1になるのでわ？(間違ってたらすみません)
それは数学的に言ったらそれが正しいと思います
あくまで例としてこの人が納得出来たものをあげただけなので
0.999...と1の間の数がないってことさえ分かれば問題ないと思いますね
「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であると定義されれば、言葉の定義を根拠として、0.999‥‥≠1という結論になるのでは。もし「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であるという定義は誤りであると主張するなら、その主張の根拠は何か？ということになる。
「0.333‥‥」とは「1/3未満の最大の数」であるという定義が正しいとすれば、1/3≠0.333‥‥ということになる。だから1 /3＝0.333‥‥の両辺を3倍すれば1＝0.999‥‥になるとの証明も成り立たない。これは、証明すべきことを前提に使っているということで。
@@8ts930
お疲れ様です。期間が空いてて恐縮です。私は、
問１「１未満の最大の数」を次から選べ。→ ① 0.9 ② 0.999 ③ 0.99999 → 答え ③ 0.99999
問２「１未満の最大の数」を答えなさい。→ 答えられない
という感覚です。（ ここで0.999･･･が wild card のように登場するのだと思いますが･･･ ）
私は∞という概念は数(量)としては定義できずとも感覚的には想像ができます。しかし「１未満の最大の数」となると感覚的にも想像できないです。
「0.999‥‥」とは「1未満の最大の数」であると定義されれば、言葉の定義を根拠として、0.999‥‥≠1という結論になるのでは、という考えは
前提が不可能であると思いますが、いかがでしょう。
1未満の最大の数をaとする。
このときaと1の差は0であってはならない。
したがってa+r＝1なる数r＞0が存在する。
ここで、a+r/2という数を考える。r＞0より、
r/2＞0
⇒a+r/2＞a
⇒a+r＞a+r/2
したがって、a＜a+r/2＜a+r＝1である。このことからa+r/2は1未満かつaより大きいため、aが1未満の最大の数であることに矛盾する。
よって1未満の最大の数は存在しない。
@@youdenkisho455 1未満の最大の数は、0.999...では決まらないと思います。
@@bluemoutain5675
何が言いたいのか分かりませんが、そもそもの話が0.99999⋯を1未満の最大の数と定義すれば良いのではないかという内容だったので1未満の最大の数は（実数としては）定義できないと反論した次第です。
数学って完璧で美しく、常に一つの解答に導かれていくものと思っていましたが…そんな事ないのですね🤔
私も1=0.99999999…は納得出来ないですが、1+1=2の証明をリンゴが一つあって、もう一つ持ってきたら２つになる、的に考えてみると、0.999999…のリンゴは目に見えないくらいの小さな小さな欠けがあるくらいで、見た目は一つのリンゴだから…0.9999999…=1って事にしちゃえる🤣
1=0.9999… 1=1.0000… うっ、あたまが…
そもそも、0.9999……は1に満たない。だから、1＝0.9999……と書くのは絶対に納得いかない😤
うん、間違っている。高校の教科書見ると、一帯に、それを正しいとしているとも、間違っているともしてある。
言い換えると、どちらでもいいように書いてある。0.999.．＝１とも0.999...＜1とも。因みに、ニュートンは0.999...＜1で考えている。
X
X
@@reboot5626 例えば学生時代にこの様な回答をされていたら納得できたでしょうか。
x
rom勢様 ありがとうございます。
そうですね 先生もそういう風に似た様な証明をぶつけるのでは無く、全く別の切り口から説明してくれたならとつくづく思います。
ところで中学の頃って自分どうだっただろう、、、たぶんrom勢さんが想像している以上に私出来ない子でした。思い立てば幼稚園の頃、「半分こ」という言葉を教わって壁と自分の手までの距離の半分こってのを繰り返したんですが、そうするとずっと半分こが続くハズなのに壁に手が付いてしまい、、、、いつ半分この世界を超えたんだろう？というのがこの手の悩みの最初のものだった気がします。いやもう何が話したかったのかも分からなくなってきたのでこの辺で
今後もよろしくお願いします。
X
@@8ts930 真偽を判断する物としては使ってません。動画内の疑問に答えただけです